باقاعده polyhedra: عنصرن symmetry ۽ ڪابل

جاميٽري خوبصورت آهي، ڇاڪاڻ جو ؟: نواب، جنهن هميشه صاف ڇو ۽ جيڪي اوھان کي خيال نه آهي وسنديون، هڪ بصري شئي ڏئي ٿو. مختلف ادارن جي اهڙي عجيب دنيا جي باقاعده polyhedra گناھن.

باقاعده polyhedra تي جنرل معلومات

ڪيترا، باقاعده polyhedrons موجب، يا جيئن اهي Platonic solids سڏيندا آهن، منفرد مال رکان. سان انهن اعتراض ڪيترن ئي علمي آرايون ڳنڍيل. جڏهن توهان جي جسم جو جاميٽري جي ڊيٽا کي تعليم حاصل ڪرڻ شروع ڪري، توهان جو احساس آهي ته لڳ ڀڳ سنڌ جي باقاعده polyhedra جيئن هڪ تصور جي باري ۾ ڪجهه به نه ڄاڻندا آھن. اسڪول ۾ اهي اعتراض جي بريفنگ هميشه دلچسپ نه آهي، تنهنڪري ڪيترا به ياد نه ڪندا آھن (اھي) ڇا سڏيندا هئا. سڀ ماڻهو جي حافظي ۾ ان کي صرف هڪ پيدا ٿيندڙ آهي. جسم جاميٽري جو ڪو باقاعده polyhedrons جيئن تڪميل مالڪ نه رکندو آھي. سڀ انهن جاميٽري جي ادارن جي نالن جي قديم يونان تان. - چار رخا، hexahedron - آيلن، octahedron - مثمن، dodecahedron - dodecahedral، icosahedron - icosahedral جي tetrahedron: اهي منھن جي تعداد ۾ نمائندگي ڪن ٿا. انهن جاميٽري جي جسم جا سڀ ڪائنات جي افلاطون جي conception ۾ هڪ اهم جاء occupies. ان جا چار جزا يا ڪارڪردگي جي مجسمي وانگر آهن: جي tetrahedron - باھ، جي icosahedron - پاڻي پيدا ٿيندڙ - زمين، octahedron - هوا. Dodecahedron سڀڪنھن شيء کي دهرائي ٿو. هن چيو ته سمورين سمجهيو ويندو هو، جو ڪائنات جي علامت جي طور تي.

هڪ polyhedron جي تصور جو فارمولو

Polyhedron جيئن ته ڪنڊي جي مائرن گڏ آهي:

• جي ڪنڊي جي ڪنهن جي ڪنارن جي هر هڪ ئي وقت رڳو هڪ هڪ ئي پاسي تي هڪ ٻئي قوتون جي پاسي تي آهي؛
• جي ڪنڊي مان هر هڪ کان اوھان کي ڪنڊي کانئس ڀرسان بيتن سان ٻين کي سير ڪري سگهي ٿو.

ارھ - جي polyhedron جوڙڻ ڪنڊي ان جي منھن ۽ سندن پاسي جي نمائندگي ڪن. polyhedra مٿي ڪنڊي جي مٿي آهن. جي مدت قوتون لوڻ بند ٽيڏي لائنن کي سمجهڻ، ته پوء هڪ polyhedron جي هڪ وصف کي اچي. صورت جتي هن اصطلاح جي جهاز ته ڀڄي سٽون جي پکڙيل آهي جو هڪ حصو مان مراد آهي، اها polygonal ٽڪر جي consisting مٿاڇري سمجھي ويندي. Convex polyhedron جسم جي جهاز جي هڪ پاسي تي ڪوڙي، ان جي منھن جي ڀرسان سڏيو ويندو آهي.

هڪ polyhedron جي هڪ ٻي وصف ۽ ان جي جزا

Polyhedron ڪنڊي جي consisting مٿاڇري سڏيو ويندو آهي، جنهن جي جاميٽري جي جسم حدن. اهي آهن:

• غير convex؛
• convex (حق ۽ باطل).

باقاعده polyhedron - maximal symmetry سان هڪ convex polyhedron آهي. باقاعده polyhedra جي جزا:

• Tetrahedron: 6 ارھ جي 4 منھن 5 چوٽي؛
• hexahedron (پيدا ٿيندڙ) 12، 6، 8؛
• 30، 12، 20 dodecahedron؛
• octahedron 12، 8، 6؛
• icosahedron 30، 20، 12.

Euler جي اثباتي

ان اسڪينڊل جي غلبي سان، مٿي ۽ منھن جي تعداد جي وچ ۾ هڪ تعلقو topologically هڪ ميدان جي برابر آهن. گڏي مٿي ۽ منھن جو تعداد (ب + د) مختلف باقاعده polyhedra آهن ۽ کين ارھ جي انگ سان comparing، ان جي هڪ حڪمراني قائم ڪرڻ ممڪن آهي: چوٽي ۽ غلبي جي تعداد کي برابر منھن جي تعداد جي پڄاڻي (منصوبابندي) 2. جي وڌي اها هڪ سادي فارمولا کي حاصل ڪرڻ ممڪن آهي:

• ب + د = منصوبابندي + 2.

هي فارمولا سڀ convex polyhedra لاء صحيح آهي.

بنيادي معنائون

هڪ باقاعده polyhedron جو تصور هڪ سزا ۾ بيان ڪرڻ ممڪن نه آهي. اهو وڌيڪ قابل قدر ۽ مقدار ۾ آهي. هڪ جسم اهڙي طور تسليم ڪيو وڃي ٿو، ان ڪري ضروري آهي ته ان کي معنائون جو تعداد دنگ. اهڙيء ريت، هڪ جاميٽري جي جسم جو هڪ باقاعده polyhedron ٿيندو جڏهن اهي حالتون ملاقات ڪري رهيا آهن:

• ان convex آهي؛
• ارھ جو ساڳيو تعداد ان جي مٿي مان هر هڪ ۾ converges؛
• سندس جي سڀ facets - باقاعده ڪنڊي، ھڪ ٻئي جي برابر؛
• سڀ dihedral وڪڙ برابر آهن.

باقاعده polyhedra جي مال

نه باقاعده polyhedra جي 5 مختلف قسمن جي آهي:

1. پيدا ٿيندڙ (hexahedron) - ان کي هڪ لوڻ سپريم موڙ 90 ° آهي. اهو هڪ 3 رخا موڙ آھي. رقم منهن گرمائيندي، 270 درجا جي بينچ تي وڪڙ.
2. Tetrahedron - 60 ° - جي لوڻ سپريم موڙ. اهو هڪ 3 رخا موڙ آھي. 180 ° - رقم منهن جي بينچ تي وڪڙ.
3. Octahedron - 60 ° - جي لوڻ سپريم موڙ. اهو هڪ چار رخا موڙ آھي. سورت 240 کن ° - رقم منهن جي بينچ تي وڪڙ.
4. Dodecahedron - 108 ° جي لوڻ سپريم موڙ. اهو هڪ 3 رخا موڙ آھي. 324 ° - رقم منهن جي بينچ تي وڪڙ.
5. Icosahedron - 60 ° - ان جو لوڻ سپريم موڙ آھي. اهو هڪ پنج رخا موڙ آھي. رقم منهن 300 ° جي بينچ تي وڪڙ.

باقاعده polyhedra جي ايراضي

جي geometrical ادارن (ص) جي مٿاڇري علائقي facets (ز) جي تعداد جي وڌايائين هڪ باقاعده قوتون علائقي جي طور تي ڏوهه آهي:

• آيس = (ھڪ: 2) 2G ctg π / ص x.

هڪ باقاعده polyhedron جي مقدار

هن جو قدر هڪ باقاعده pyramid جن بنيادي طور هڪ باقاعده ڪنڊو آهي، منھن جي تعداد جي مقدار multiplying جي ڏوهه ۾ آهي، ۽ ان جي اوچائي جي ميدان (ر) جي لکيل ريڊيس Radius آهي:

• هلي = 1: 3rS.

باقاعده polyhedra جي مقدار

ڪنهن ٻئي جاميٽري جي بيڪار وانگر، باقاعده polyhedra مختلف مقدار آهن. هيٺ ۽ فارمولن جنهن جي اھي حساب ڪري سگهو ٿا:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12؛
• octahedron: α x 3√2: 3؛
• icosahedron؛ α x 3؛
• hexahedron (پيدا ٿيندڙ): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12؛
• dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

باقاعده polyhedra جي عنصرن

Hexahedron ۽ octahedron ٻٽي جاميٽري جي ادارن جي آهي. ٻين لفظن ۾، اهي واقعي ۾ هڪ ٻئي کان ٻاهر حاصل ڪري سگهون ٿا ته هڪ جي centroid ٻئي جي مٿي، ۽ لکندا طور ورتو آهي. به ٻٽي icosahedron ۽ dodecahedron آهن. پاڻ صرف tetrahedron ٻٽي آهي. اقليدس جي طريقي موجب جي پيدا ٿيندڙ جي منھن تي "ڇتيون" بڻائڻ جي هڪ dodecahedron hexahedron کان حاصل ڪري سگهجي ٿو. جي tetrahedron جي چوٽي جي پيدا ٿيندڙ، نه ته پاسيري گڏ ڀرسان جوڙو جي ڪنهن به 4 مٿي آهن. hexahedron (پيدا ٿيندڙ) کان حاصل ڪري سگهجي ٿو، ۽ ٻئي کي باقاعده polyhedra. حقيقت اها آهي ته باوجود باقاعده ڪنڊي بيشمار، باقاعده polyhedra موجود آهن، اتي صرف 5 آهن.

باقاعده ڪنڊي جي radii

انهن جاميٽري جي ادارن جو هر هڪ سان concentric شعبن سان ڳنڍيل آهن 3:

• سنڌ جي چوٽي جي ذريعي ڪارڻ بيان؛
• ان جي وچ ۾ ان جي منھن مان هر هڪ جي حوالي سان لکيل.
• جي وچ ۾ سڀني جي غلبي بابت وچ ۾ ورھائڻ لاء.

جي ميدان ڏنل فارمولا جي بيان جي ريڊيس Radius ڏوهه آهي:

• آر = هڪ: 2 x tg π / ز x tg θ: 2.

جي لکيل ميدان جي ريڊيس Radius جي پٺيان طور ڏوهه آهي:

• آر = هڪ: 2 x ctg π / ص x tg θ: 2،

جتي θ - dihedral موڙ جنهن جي ڀرسان facets جي وچ ۾ آهي.

جي ميدان جي وچ ۾ ورھائڻ لاء ريڊيس Radius ڏنل فارمولا استعمال ڪرڻ جي ڏوهه ۾ ڪري سگهجي ٿو:

• ρ = cos π / ص هڪ: 2 گناھ π / ح،

جتي ح = 4،6، 6،10، يا 10. جي ڊ جو لکيل جي radii جي نظر بيان ۽ symmetrically ص کي عزت ۽ ق سان. تابعداري ڪئي ته جيئن اهو ڏوهه آهي:

• ر / ر = tg π / ص x tg π / س.

polyhedra جي symmetry

جي باقاعده polyhedra جي symmetry انهن جاميٽري جي ادارن کي بنيادي مفاد جي آهي. اهو خلا ۾ جسم جي هڪ تحريڪ آهي، جنهن جي چوٽي، منھن ۽ غلبي جو به ساڳيو تعداد پنن طور ڄاتو وڃي ٿو. ٻين لفظن ۾، symmetry transformations جي اثر هيٺ برتري، اڀي، يا منهن ان جي اصل حيثيت نامي، يا ڪنهن ٻئي rib جي گهر ۾ پوزيشن، ٻئي سرا يا منھن کي هلڻ.

جي باقاعده polyhedra جي symmetry جي عنصرن جاميٽري جي solids جي سڀني قسمن جي لاء عام آهي. هتي ان جي سڃاڻپ transformation، جنهن جي اصل حيثيت ۾ جون پوائينٽون جي ڪنهن به پنن تي هلندا آهي. پوء جنھن مھل اوھان کي توبه جي polygonal prism ڪجهه symmetries حاصل ڪري سگهو ٿا. انهن مان ڪنهن به سوچ جي پيداوار طور ظاھر ڪري سگهجي ٿو. Symmetry، جنهن reflections جي هڪ به نمبر، سڌو سڏيو جي پيداوار آهي. جيڪڏهن ان reflections جي هڪ نرالي نمبر جي پيداوار آهي، ته پوء ان کي موٽ سڏيو ويندو آهي. اهڙيء طرح، جي قطار جي چوڌاري سڀ ڦيرائيندا سڌي symmetry نمائندگي ڪن ٿا. ڪنهن به پرتو polyhedron - جي inverse symmetry آهي.

ڀلا جي باقاعده polyhedra جي symmetry عنصرن کي سمجهڻ لاء، توهان جي tetrahedron جو مثال وٺي سگهجي ٿو. ڪنهن به قطار آهي ته مٿي جي هڪ ۽ جي مرڪز ذريعي نڪري ويندي جاميٽري جي شڪل ۾، جاء وٺي، ۽ پاسيري ان کي سامهون جي مرڪز جي ذريعي ٿيندي. جيڪو منھن موڙيندو 120 ۽ سورت 240 کن ° جي قطار جي چوڌاري مان هر هڪ جي جمع tetrahedral symmetry سان تعلق رکي ٿو. تنهنڪري ان کي 4 مٿي ۽ منھن، اسان کي اٺ سڌو symmetries جي ڪل حاصل ڪري. سٽون هن جي غلبي جي وچ ۽ جسم جي مرڪز ذريعي بيتن جي ڪنهن به، ان جي سامهون پاسيري جي وچ ذريعي گذري ٿو. 180 ° جي ڪنهن به گردش، سڌي symmetry جي چوڌاري هڪ اڌ-موڙ سڏيو. جيئن ته سنڌ جي tetrahedron ارھ جي ٽن جوڙو ڪئي آهي، توهان symmetry جي ٽي سٽون حاصل ڪري. جي مٿي تي ٻڌل آهي، اسان کي ته سڌو symmetry جي ڪل تعداد ويچار ڪري سگهي ٿو، ۽ جي سڃاڻپ transformation شامل آهن، ٻارهن کي کنيو ويندو. ٻين سڌو symmetry tetrahedron موجود ڪونه آهي، پر ان کي 12 inverse symmetry ڪئي. انڪري، رڳو 24 tetrahedron symmetries characterized. وضاحت لاء، اسان کي هڪ باقاعده cardboard جي ڪيو tetrahedron جو هڪ ماڊل کپن ۽ ان جي آهي جو جاميٽري جي جسم حقيقت صرف 24 symmetry ڪئي پڪ ڪر سگهي ٿو.

Dodecahedron ۽ icosahedron - جسم علائقي کي قريب. Icosahedron منھن جي وڏي انگ، جي dihedral موڙ آھي ۽ سڀ جو سڀ کان جئين ئي لکيل ميدان ڏانهن ٿي ڪرندا ڪري سگهو ٿا. Dodecahedron جي زير angular عيب وڏي بيڪار جي اڀي ليڪ تي موڙ آھي. اهو circumscribed ميدان ۾ ڀريندا کي maximize ڪري سگهو ٿا.

اسڪيننگ polyhedra

باقاعده polyhedra سکين، جنهن جي اسان سڀني کي ننڍپڻ ۾ گڏجي ڦاسي پيا، نظريا جو تمام گهڻو آهي. جيڪڏهن ڪو ڪنڊي جي هڪ سيٽ آهي، جنهن جي هر پاسي جي polyhedron جي رڳو هڪ پاسي سان سڃاڻپ آهي، سنڌ جي سياسي پارٽين جي سڃاڻپ ٻن حالتن سان عمل ڪرڻو پوندو:

• هر قوتون جو، تون هڪ قوتون جي پاسي جي سڃاڻپ گذارڻ ڏانهن رخ ڪري سگهن ٿا؛
• ڄاڻڻ پاسي به ساڳئي ڊيگهه ڪئي وڃي.

اهو ڪنڊي ته انهن حالتن سان ملڻ جو هڪ مقرر ڪيل آهي، ۽ هڪ polyhedron سکين سڏيو ويندو آهي. هنن ادارن مان هر هڪ انهن مان ڪيترن ئي ڪئي. مثال طور، هڪ ٿيندڙ جنهن جي 11 ٽڪر به موجود آهن.