Georg Cantor: قائم نظريو، سوانح ۽ خاندان جي رياضي

Georg Cantor (ڦوٽو ٿوري دير کان پوء هن مضمون ۾ ڏيکاري ٿو) - جرمن رياضي دان جو بيان جي نظريي جي ترقي ۽ transfinite انگ جو تصور متعارف ڪرايو، infinitely وڏي، پر ھڪ ٻئي کان مختلف. هن چيو ته به ordinal ۽ نو انگ جي هڪ وصف ڏني ۽ سندن arithmetic قائم.

Georg Cantor: هڪ مختصر سوانح حيات

ايس ٽي برگ 03.03.1845 ع ۾ ڄائو. سندس والد هڪ دانش پروٹسٹنٹ Georg Waldemar Cantor هو، H. واپار ۾ مشغول هوندو هو جلد ۾. ۽ اسٽاڪ ايڪسچينج تي. سندس ماء، مريم، Bem هڪ ڪئٿلڪ هو ۽ ممتاز موسيقار جي خاندان مان آيو. جڏهن 1856 ع ۾ سندس پيء جارج بيمار ٿيو، هڪ milder موسم جي ڳولا ۾ هن خاندان جو پهريون Wiesbaden ڪرڻ کان پوء Frankfurt تي رکيو ويو. رياضياتي ڏات، نينگر خانگي اسڪولن ۽ Darmstadt ۽ Wiesbaden ۾ سرڪاري اسڪولن ۾ زير تعليم، جڏهن ته سندس 15th جنم ڏينهن اڳ بيٺو. آخر ۾، Georg Cantor سندس عزم هڪ رياضي دان بجاء هڪ انجنيئر هئڻ ۾ سندس پيء خاموشيء سان.

1863. Cantor ۾ ان سلسلي جي يونيورسٽي تي هڪ مختصر ٽريننگ کان پوء برلن يونيورسٽي کي منتقل ڪيو ويو طبعي، فلسفي ۽ رياضي تعليم حاصل ڪرڻ لاء. نه ته هن کي سيکاريو ويو:

• ڪارل مارڪس Theodor Weierstrass، جن جي تجزيي ۾ خصوصيت، شايد جارج تي وڏو اثر پيو.
• Ernst Kummer، جن جي بلند ترين arithmetic سيکاريو.
• Leopold Kronecker، انگ نظريو ۾ بحيثيت، جيڪو بعد ۾ Cantor جي مخالفت تي.

1866 ع ۾ Göttingen جي يونيورسٽي ۾ هڪ سيمسٽر خرچ پوڻ، ايندڙ سال جارج جي عنوان هيٺ سندس بعد مقالو لکيو جو مسئلو آهي ته ڪارل Friedrich Gauss سندس Disquisitiones Arithmeticae (1801 ع) ۾ unresolved ڇڏي حوالي سان "چيڪلو ۾، سوالن پڇڻ جي فن مسئلا حل ثي رهيو کان وڌيڪ قيمتي آهي" . مختصر طور ڇوڪرين لاء برلن اسڪول تي آيل پوء Kantor Halle جي يونيورسٽي، جتي هن پنهنجي زندگي جي آخر تائين رهيو تي هڪ اسسٽنٽ پروفيسر طور، پهرين هڪ lecturer طور، ڪم 1872 ع کان شروع ٿيو، ۽ 1879 ع کان وٺي هڪ پروفيسر جي حيثيت ۾ پهرين.

تحقيق

1869 ع کان 1873 تائين 10 ڪمن جي سيريز جي شروعات ۾، Georg Cantor انگ جي نظريي کي سمجهي. ڪم سندس مطالعي ۽ Gauss Kronecker جي اثر جي موضوع جي لاء جوش جي هنگامن. Heinrich Eduard Heine، Halle تي Cantor جي ساٿيو، جيڪو سندس رياضياتي ڏات تسليم جي ان تجويز تي، هن trigonometric سيريز جو نظريو، جنهن جي حقيقي تعداد جي تصور وسعت ڏي موٽيو.

1854 ع ۾ جرمن رياضي دان Bernhard Riemann جو هڪ پيچيده variable جي ڪم ڪارڪردگيء جي بنياد تي، 1870 ع ۾ Cantor ڏيکاري وئي آهي ته جيئن هڪ ئي فعل ۾ صرف هڪ واٽ ۾ ظاھر ڪري سگهجي ٿو - trigonometric سيريز جي. نمبر (جون پوائينٽون) جي سيٽ آهي، جنهن جي هن قول سان ٽڪراء نه ٿين جي غور، کيس ٿياسون، پهرين جاء ۾، 1872 ع ۾ سنڌ جي سمجھاڻي لاء غير منطقي انگ جي نالي ماتر انگ (integers جي fractions) جي convergent انداز جي لحاظ سان ۽ پوء سندس زندگي جي ڪم تي ڪم جي شروعات ڪري، نظريو ۽ transfinite انگ جو تصور قائم.

سيٽ نظريو

Georg Cantor، جو نظريو جنهن Braunschweig رياضي دان رچرڊ Dedekind جي ٽيڪنيڪل انسٽيٽيوٽ سان correspondence ۾ ٺهينديون ڪندو آھي، ننڍپڻ کان وٺي دوست ساڻس گڏ هو. اهي نتيجي تي پهتي ته بيان، مائرن يا لافاني، عنصرن جي هڪ plurality آهن (مثال طور، انگ {0، ± 1، ± 2 ...}) اي جنؤ ۽ هڪ خاص ملڪيت آهي، جڏهن ته انهن جي انفراديت متاع. پر Georg Cantor سندن ڪنڀار هڪ correspondence تعليم حاصل ڪرڻ لاء لاڳو (کي مثال طور، {أ، ب، س} {1، 2، 3}) جڏھن، هن چيو ته فوري طور ڳالهه آهي ته انهن جي ٽڪيٽ جي سندن وڏا ۾ تڪرار ڪيو، ته به ان جي لافاني بيان هئا ، دبي. أي. پيس يا هڪ subset جنهن جي اعتراض جو ساڳيو تعداد طور تي ان کي پاڻ کي آھي شامل مقرر. سندس طريقو جلد هذا نتيجن کي ڏني.

1873 ع ۾، Georg Cantor (رياضي) پهتا ته نالي ماتر انگ، باقي لافاني، countable آهن، ڇاڪاڻ ته اهي هڪ-ڪرڻ-هڪ فطري (يعني. ئ 1، 2، 3 ،. المتوفي) سان correspondence ۾ وجهي سگهجي ٿو. هن چيو ته اصل تعداد جي مقرر ڪيل هڪ نالي ماتر ۽ غير منطقي، ۽ uncountable لافاني جي consisting پهتا. ڇا هڪ paradox، Cantor اهو ثابت ڪيو ته سڀ algebraic انگ جو مقرر ڪيل سڀني integers جي سيٽ جي طور تي جيئن ته ڪيترن ئي عنصرن تي مشتمل هوندي، ۽ جيڪي transcendental انگ جنهن algebraic نه آهي، جنهن جي غير منطقي نمبر جو هڪ subset آهن uncountable آهي ۽ انهيء ڪري انهن جي تعداد کي integers جي ڀيٽ ۾ تمام وڏو آهي ۽ لافاني تصور ڪيو وڃي.

مخالف ۽ حامي

پر نوڪري Cantor، جنهن ۾ هن چيو ته پهريون ڀيرو سنڌ جي نتيجن کي اڳتي ڪر، جو نظرثاني جي هڪ طور "Krell" رسالن ۾ شايع نه ڪيو ويو، Kronecker جي مخالفت ڪئي وئي هئي. پر Dedekind جي مداخلت کان پوء ان جي عنوان هيٺ 1874 ع ۾ شايع ڪيو ويو "سڀ حقيقي algebraic انگ جو ڪنڀار."

سائنس ۽ ذاتي زندگي

ساڳئي سال ۾، Interlaken، سوئٽزرلينڊ ۾ سندس زال جي، Valli Gutman سان honeymoon دوران، Cantor Dedekind ڪير به نٿو سندس نئين نظريي تي تبصرو ملاقات. جارج پگهار ننڍو هو، پر ان جي رقم سان سندس پيء، جيڪو 1863 ع ۾ وفات ڪئي، هن جي گهر ۾ هن جي زال ۽ پنجن ٻارن لاء تعمير ڪرايو هو. سندس مقالن جي ڪيترن ئي نئين جرنل Acta Mathematica، جو ايڊيٽر ۽ زندهه جنهن جي Gösta Mittag-Leffler، پهرين جرمن رياضي جي ڏات کي ياد رکڻ لاء مان هو ع ۾ سويڊن ۾ شايع ڪيو ويو آهي.

جي metaphysics سان رابطي

نظريو Cantor تحقيق جي مڪمل طور نئين موضوع رياضي لافاني (مثال طور، سنڌ جي تسلسل 1، 2، 3 ،. المتوفي، ۽ وڌيڪ پيچيده بيان) لاء ڌرڻا، جنهن الهاس نگر هڪ-ڪرڻ-هڪ correspondence تي منحصر آھي هو. تسلسل ۽ infinity بابت سوال جوڙ جي نون طريقن جي Cantor ترقي سندس پڙهائي سڏي ورت.

جڏهن هن دليل ڏنو ته لافاني انگ واقعي موجود، هن چيو ته حقيقي ۽ امڪاني infinity ڪرڻ، گڏو گڏ هن ابتدائي ديني تعليم، جنهن جي ماء کيس ڏنوسون جي حوالي سان سنڌ جي قديم ۽ وچئين دور فلسفي ڏانهن موٽيو. 1883 ع ۾، پنهنجي ڪتاب "بيان جي عام نظريي جي Fundamentals" ۾ Kantor افلاطون جي metaphysics جو سندس تصور ٿيل.

Kronecker به، جيڪو به اوتري ئي آهي ته "نه آهن" رڳو integers ( "خدا جي integers، باقي پيدا - انسان جي ڪم")، ڪيترن سالن تائين تکو سندس دليل کي رد ڪري ۽ برلن جي يونيورسٽي تائين سندس مقرري کي روڪيو.

transfinite انگ

1895-97 gg ۾. Georg Cantor ناه تسلسل ۽ infinity جو سندس خيال، هڪ کٽ تسلسل ۽ نو انگ سميت ٺهيل آهي، سندس سڀ کان مشهور ڪم، عنوان (1915 ع) "transfinite انگ جي نظريي کي ٿیون." هيٺ شايع ۾. هيء ڪم پنهنجي conception، جنهن لاء هن کي هڪ سمجهاڻي آهي ته هڪ لافاني سيٽ ان جي subsets جي هڪ سان هڪ هڪ ڪري-هڪ correspondence ۾ پهچائي ٿو ڪري سگهجي ٿو سربراهي ۾ شامل آهن.

هن smallest transfinite نو نمبر هن چيو ته ڪنهن به سيٽ، جنهن جي قدرتي انگ سان هڪ-ڪرڻ-هڪ correspondence ۾ وجهي سگهجي ٿو جي طاقت جو مطلب. Kantor سندس aleph-صفر بيان. وڏي transfinite plurality Alef-نامزد هڪ، ٻه يا Aleph-دبي. المتوفي اهو وڌيڪ arithmetic ordinals، جنهن جي مائرن arithmetic سان ملندڙ جلندڙ هو ترقي ڪري. اهڙيء طرح، هن infinity جي تصور شاھوڪار ڪيو آهي.

جڏهن ته مخالف ڌر جي هن ويٺا آهن، ۽ هن وقت ان کي تسليم ڪيو آهي ته هن پنهنجي خيالن جو اظهار پوريء طرح قبول ڪيا ويا ٿي گذريو آهي، جو نمبر ڇا آهي جو سنڌ جي قديم سوال جي revaluation جي پيچيدگين کي بيان. Kantor ڏيکاريائين جي لڪير تي جون پوائينٽون جي هڪ سيٽ Aleph-ٻڙي جي ڀيٽ ۾ هڪ اعلي گنجائش آھي. هن جي continuum hypothesis جي معروف مسئلو لاء روانا - aleph-ٻڙي ۽ ليڪ تي في الحال طاقت جون پوائينٽون جي وچ ۾ ڪو به cardinals. جي 20th صدي عيسويء جي پهرين ۽ ٻئي اڌ ۾ هن مسئلي کي وڏي دلچسپي جي آهي ۽ ڪيترن ئي mathematicians جو اڀياس ڪيو ويو آهي، ۽ ۾. H. سليمان وساڻ Gödel ۽ پولس Cohen.

بيدل

جيون Georga Kantora 1884 ع سندس incipient دماغي بيماري جي بگاڙيو ويو، پر هن کي زور ڏئي ڪم کي جاري رکيو. 1897 ع ۾ هن چيو ته ان سلسلي ۾ Mathematicians جي پهرين بين الاقوامي ڪانگريس منعقد ڪرڻ لاء ڏنا. مڪمل طور ڇاڪاڻ ته هن جي Kronecker جي مخالفت ڪئي، هن کي اڪثر نوجوان budding mathematicians سان همدردي ۽ استادن جو نوان خيال خطرو محسوس ڪندي خوفزده ڪرڻ کان انھن کي بچائڻ لاء ڪو رستو ڳولڻ جي ڪوشش ڪئي.

اعتراف

جو صديء جي مٽجڻ تي سندس ڪم پوريء طرح ڪم، تجزيي ۽ topology جي نظريي جي لاء هڪ بنياد جي حيثيت کي تسليم ڪيو ويو. ان کان سواء، Kantora Georga ڪتاب چيڪلو جي منطقي بنياد جي formalist ۽ intuitionist اسڪول جي وڌيڪ ترقي جي لاء هڪ impetus طور رهيو. هن بامعني تعليم جي نظام کي تبديل ڪري ڇڏيو آهي ۽ اڪثر ڪري هن سان لاڳاپيل آهي "نئين رياضي."

1911 ع ۾، Cantor اسڪاٽ لينڊ ۾ ايس Andrews جي يونيورسٽي جي 500th سالگره جو جشن ڪرڻ جي دعوت ڏني جن مان هو. هن چيو ته نه نڪري Bertrand رسل، جيڪو سندس تازو شايع ٿيل ڪم Principia Mathematica ۾ بار بار جرمن رياضي دان تائين جو حوالو ڏنو، پر ته ايڏو وڏو نه ڪيو ملڻ جي اميد. يونيورسٽي Cantor هڪ اعزازي ڊگري سان نوازيو، پر مرض جي ڪري هن شخص ۾ تحفو قبول ڪرڻ کان قاصر هو.

Cantor 1913 ع ۾ اتان رٽائر ڪيائين ۽ غربت ۾ رهندو هو ۽ سنڌ جي پهرين مهاڀاري جنگ دوران starving. 1915 ع ۾ سندس 70th سالگراه جي شان ۾ جشن جنگ جو سبب منسوخ ٿي ويا، پر هڪ ننڍڙي تقريب ۾ سندس گهر تي فائز هو. هن چيو ته 06.01.1918 تي وفات ڪري ويو، Galle ۾، هڪ نفسياتي اسپتال، جتي هن پنهنجي زندگيء جي آخري سالن جي خرچ ۾.

Georg Cantor: هڪ جيون. خاندان

آگسٽ 9، 1874 ع، جرمن رياضي دان Valli Gutman سان شادي ڪئي. هن جوڙو 4 پٽ ۽ 2 ڌيئر هئا. آخري ٻار 1886 ع ۾ Cantor هڪ نئون گهر خريد ۾ پيدا ٿيو. هن خاندان جو هن پنهنجي والد جي محلن مدد جي حمايت. Cantor جي صحت جي وڏي 1899 ع ۾ سندس ننڍي پٽ جي وفات کان متاثر - جيئن ته ان کي ڪڏهن به سنڌ جي بيدل ڏانهن روانو ٿيو.