امکانات جا اصول. واقعي جي تڪميل، بي ترتيب واري واقعن (امڪاني نظريه). آزاد ۽ غير ناممڪن واقعن ۾ امڪان آهي

اهو ممڪن ناهي ته ڪيترا ماڻهو سوچڻ چاهين ٿا ته اهو ممڪن آهي ته اهو واقعن جي حساب سان ڪجهه حد تائين حادثاتي ڪن ٿا. سادي لفظن ۾، حقيقت ۾ اهو ڄاڻڻ ممڪن آهي ته ڊاس ۾ ڏند ڪٿان ٻي ايندڙ وقت ڇڏي ويندي. اهو هي سوال هو ته ٻه وڏن سائنسدان جيڪي پڇيا آهن ، مثلا سائنس جي امڪاني نظريي جي شروعات ڪئي، انهي واقعي جي احتساب جو وڏي مطالعي جي اڀياس ڪئي وڃي.

اصل

جيڪڏهن اسان تڪليف نظريي وانگر اهڙي تصور کي وضاحت ڪرڻ جي ڪوشش ڪندا، پوء هيٺ ڏنل نتيجو حاصل ڪيو ويندو: هي رياضي جي شاخن مان هڪ آهي جيڪو بي ترتيب واقعن جي بيماري جي مطالعي سان آهي. واضح طور، هن تصور کي بلڪل نقطو ظاهر نٿو ڪري، تنهنڪري ان کي وڌيڪ تفصيل سان غور ڪرڻ ضروري آهي.

مان هن نظريي جي باني سان شروع ڪرڻ چاهيندس. مٿي ذڪر ڪيل طور تي، انهن مان ٻن ۾ موجود هئا، هي پيئر فرمت ۽ بليز پااسال آهي. اهي پهريان ئي هڪ ئي فارمولاس ۽ رياضياتي حسابن جي استعمال لاء هڪ واقعا جي نتيجو کي ڳڻڻ لاء هئا. عام طور تي، هن سائنس جي شروعات پاڻ وچين دور ۾ ظاهر ڪيو. انهي وقت، مختلف سوچيندڙ ۽ سائنسدان جوا جو تجزيو ڪرڻ جي ڪوشش ڪئي، جهڙوڪ رولا، هڏن ۽ اس طرح، خاص طور تي خاص نمبر جي زوال جي باقاعدي ۽ فيصد تناسب قائم ڪري. سترهين صديء ۾ هن بنيادن تي مٿي ڄاڻايل سائنسدانن طرفان بنياد رکيو ويو.

پهرين ته، انهن جا ڪم هن فيلڊ ۾ عظيم ڪاميابين کي منسوب نه ٿي سگهيو، ڇاڪاڻ ته انهن سڀني کان صرف ڪيو هو صرف فصيح تجربو آهي ۽ تجربن کي فارمولن جي استعمال کان بغير ڏسڻ ۾ اچي ويو. ڪجهه وقت کان پوء، اهو وڏو نتيجو حاصل ڪيو ويو، جو هڏن جي اڇلائي جي مشاهدي جي سبب ظاهر ٿيو. اهو هي اوزار هو جيڪو پهرين معزز فارمولي حاصل ڪرڻ ۾ مدد ڪري رهيو هو.

پسنديده ماڻهو

اهو ممڪن ناهي ته اهڙي شخص "عيسائيت هيو گين" جو عنوان مطالعے جي عمل ۾ "احتساب نظريه" (اس سائنس جي احتساب کي شامل آهي) عنوان کي. هي شخص تمام دلچسپ آهي. هن سان گڏ پيش ڪيل سائنسدان پڻ، رياضياتي فارمولن جي ترتيب ۾ بي ترتيباتي واقعن جي قانون حاصل ڪرڻ جي ڪوشش ڪئي. اهو قابل ذڪر آهي ته هن اهو پاسال ۽ فررمات سان گڏ ڪونه ڪيو هو، اهو آهي ته، هن جا سڀئي سڀئي ڪم انهن ذهنن سان نه مليا آهن. هٿيارن جي بنيادي تصورات جي امڪاني نظريي مان نڪتل .

اها دلچسپ ڳالهه آهي ته سندس ڪم دريافتن جي ڪم جي نتيجن کان اڳ يا بلڪه ويهن سالن کان اڳ شايع ٿيل هئي. نامزد ٿيل مفهومن ۾، سڀ کان مشهور آهن:

• ایک موقع کے شدت کے طور پر امکانات کا تصور؛
• اختياري ڪيسن لاء رياضياتي اميد
• ضوابط ۽ ضوابط جي اضافو جا فوري.

اهو پڻ ممڪن ناهي ته جاکووب بروروولي ياد رکو، جو پڻ اس مسئلي جي مطالعي ۾ هڪ اهم حصو ادا ڪيو. پنهنجي پنهنجي پاڻ کي کڻڻ، آزاد جاچ تي ڪو به نه، هن وڏي تعداد ۾ قانون جو ثبوت پيش ڪرڻ ۾ مدد ڪئي. موڙ ۾، Poisson ۽ Laplace جي سائنسدان، جيڪي شروعاتي صديء جي شروعات ۾ ڪم ڪيا هئا، اصلي اصلن کي ثابت ڪرڻ جي قابل هئا. اهو ئي وقت کان مشاهدو دوران غلطيون تجزيو ڪرڻ جي امڪان جي اصول کي استعمال ڪرڻ تي هو. روسي سائنسدان، يا وڌيڪ واضح طور پر مارڪوف، شيبسيف ۽ ديپونوف هن سائنس کي بائيڪاٽ نه ٿي سگهيو. اھي، وڏن جھنگ جي ڪم جي بنياد تي، ھن موضوع کي رياضي جي ھڪڙي حصي کي مقرر ڪيو. انهن انگن اکرنهن صديء جي آخر ۾ ڪم ڪيو، ۽ انهن جي مدد سان، اهڙي قسم جو مثال:

• وڏي تعداد جو قانون؛
• مارکوف زنجیروں کے اصول؛
• مرڪزي حد تيمور.

تنهن ڪري، سائنس جي پيدائش سان تاريخ ۽ مکيه ماڻهن سان ان جو اثر پيو، هر شيء کي گهٽ يا گهٽ واضح آهي. هاڻي اهو وقت آهي سڀني حقيقتن کي زبردست ڪرڻ.

بنيادي تصورات

قانون ۽ نظريات کي بچائڻ کان اڳ، اهو امڪاني نظريي جي بنيادي تصورات جي مطالعي جي قابل آهي. اهو واقعو ان ۾ هڪ اهم ڪردار وٺندو آهي. هي موضوع بلڪل انتهائي آهي، پر انهي جي بغير توهان هر ڪنهن کي سمجهي نه سگهندا.

واقعي جي امڪاني نظريي ۾ واقع آهي تجربو جي نتيجن جي ڪنهن به سيٽ. هن رجحان جي ڪيتريون ئي سوچ نه آهن. تنهن ڪري، سائنسدان لوٹمن، جو هن فیلڈ میں کام کرتا ہے، نے کہا ہے کہ اس صورت میں یہ ہے "جي واقعا، حالانڪه ائين نه ٿي سگهي".

غير ترتيب واريون واقعا (امڪاني نظريي انهن ڏانهن خاص ڌيان ڏئي ٿو) اهو هڪ تصور آهي ته هرگز واقعي جو رجحان واقع ٿئي ٿي. يا، ان جي ابتڙ، هي منظر عام نه ٿي ٿئي جڏهن ڪيتريون ئي شرطون ملن ٿيون. اهو پڻ معلوم ڪرڻ آهي ته اهو اڻ وڻندڙ घटनाक्रम آهي، جيڪو सम्पूर्ण घटना फिनेमेना कब्जा गर्दछ. امڪاني نظريي مان اشارو ڪري ٿو ته سڀني حالتن کي هر وقت بار بار ڪري سگهجي ٿو. اهو سندن اخلاق هو جنهن کي "تجربو" سڏيو ويندو هو يا "امتحان."

ھڪڙو واقعي واقعي ھڪ رجحان آھي جيڪو ھن آزمائش ۾ مڪمل طور تي ٿيندو. عام طور تي، هڪ ناممڪن واقعي घटना اها آهي جو गर्दैन.

عملن جي هڪ گڏيل ٺهيل (شرطي طور تي A ۽ بي ڪيس بي) هڪ رجحان آهي جنهن سان گڏ گڏ ٿئي ٿي. انهن کي ظاهر آهي AB طور تي.

اي ۽ بي واقعن جو جوڑوں سي اي آهي، ٻين لفظن ۾، جيڪڏهن گهٽ ۾ گهٽ هڪ هڪ (الف يا بي) ٿئي ٿي، ته نتيجو سي آهي. بيان ڪيل فارمين لاء فارمولا جيئن ئي لکيو ويو آهي: C = A + B.

احتمالي نظريو ۾ غير گڏيل واقعا اهو سمجهندا آهن ته ٻه ڪيس هڪٻئي سان هڪ ٻئي کان ٻاهر نڪتا. ساڳي ئي وقت ۾ اهي ڪنهن به صورت ۾ نٿا ٿي سگهن. احتمالی نظريي ۾ گڏيل واقعا ان جي ايپپيڊ آهن. هتي اهو مطلب آهي ته جيڪڏهن اهڙو واقعو آهي، ته پوء ان کي هلي نه ٿو پوي.

تقريبن واقعا (نظرثاني جو نظريو انهن کي وڌيڪ تفصيل سان سمجهيو آهي) سمجهڻ ۾ آسان آهي. ان جي مقابلي ۾ ان سان مقابلو ڪرڻ بهتر آهي. اهي تقريبن احتساب نظريي ۾ متضاد واقعن وانگر آهن. پر انهن جو فرق اهو ئي آهي ته ڪيترن ئي واقعن مان هڪ ڪيس ۾ واقع ٿيڻ گهرجي.

ساڳئي ممڪن واقعا جيڪي ڪارناما آهن جن جي ورهاڱي برابر آهي. واضع ڪرڻ لاء، توهان هڪ سنگت اڇلائڻ تصور ڪري سگهو ٿا: ان جي پاسن جي هڪ گردن جي ڀيٽ ۾ هڪ جيترا امڪان آهي.

هڪ مثال واقعي مثال سان غور ڪرڻ آسان آهي. فرض ڪريو اتي هڪ ايجاد بي ۽ هڪ ماجرا آهي. پهريون ڀيرو هڪ بي مثال جو ظاهري نموني سان گڏ موڙن جو هڪ رول آهي، ۽ ٻيو ڪعب تي پنجن نمبر ظاهر آهي. ان کان پوء اهو ظاهر ٿيو ته اي A جي لائق آهي.

نظريي ۾ آزاد واقعن جو امڪان صرف ٻه يا وڌيڪ ڪيسن ۾ آهي ۽ ڪجهه ڪارناما جي آزادي کان سواء آهن. مثال طور، الف - هڪ ٺٽو ڦهلائڻ وارو هڪ ڊگهو، ۽ بي - هڪ ڊڪ کان هڪ جڪ حاصل ڪري رهيو آهي. اهي احتمالي نظريي ۾ آزاد واقعا آهن. هن وقت سان اهو صاف ٿي چڪي آهي.

احتساب نظريي ۾ ڀرپور واقعا پڻ قبول ڪري رهيا آهن صرف انهن جي سيٽ لاء. اهي هڪ ٻئي تي هڪ انحصار تي عمل ڪري ٿو، اهو آهي، اها رجحان بي ڪري ٿي سگهي ٿي، هڪ صورت ۾ ٿي سگھي ٿو، هڪ A اڳ ۾ واقع ٿي وئي آهي، يا ڪچهري، پيدا نه ڪيو ويو آهي، جڏهن اهو وي لاء بنيادي شرط آهي.

ایک بے ترتیب تجربے کا نتیجہ ایک اجزاء مشتمل ہے ابتدائی واقعات. امڪاني نظريي بيان ڪئي آهي ته اهو هڪ رجحان آهي جيڪا صرف هڪ ڀيرو ٿي پئي آهي.

بنيادي فارمولاس

تنهن ڪري، نقشن "واقعي"، "امڪاني نظريه" مٿي ڄاڻايل هئا، هن سائنس جي بنيادي شرطن کي پڻ ڏني وئي هئي. هاڻ اهو وقت اهم فارمولن سان واقف ٿي سگھي ٿو. اهي بيان جيڪي رياضي طور تي سڀني مکيه تصورن جي تصديق ڪن ٿا، اهو ممڪن آهي ته امڪاني نظريي جي صورت ۾. هن جي ڪارڻ اهو ئي طريقو هتي وڏو ڪردار ادا ڪري ٿو.

اهو بهتر آهي ته گڏوگڏ جي بنيادي فارمولن سان شروع ڪرڻ. ۽ ان کان اڳ توھان انھن کان اڳتي وڌڻ جي قابل آھي، اھو اھو آھي جيڪو توھان جي آھي.

ڪنڀارڪن جو بنيادي طور تي رياضي جي هڪ شاخ آهي، اهو هڪ وڏي انگن جي اڀياس سان گڏ آهي، انهي سان گڏ انهن جي تعداد جي مختلف اجازت، انهن جي عناصر، مختلف ڊيٽا وغيره وغيره. امڪان جي نظريي جي باوجود، هن شاخ جي انگ اکر، ڪمپيوٽر جو سائنس ۽ ڪرڪيٽ جي لاء اهم آهي.

تنهن ڪري، هاڻي توهان پاڻ ۽ سندن تعريف جي فارمولين جي نمائندگي ڪري سگهو ٿا.

هنن جو پهريون ته اجازتون جي نمبر جي لاء هڪ مظاهرو ٿيندو، اهو ڏسڻ ۾ اچي ٿو:

P_n = ا ⋅ (ن - 1) ⋅ (ن - 2) ... 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

مساوات صرف استعمال ٿيندو آهي جڏهن عناصر صرف انهن جي مقام جي لحاظ کان مختلف آهن.

ھاڻي آبادي وارو فارمولا سمجھي ويندي، اھو ھن کي ڏسڻ لڳندي:

A_n ^ م = ن ⋅ (ن-1) ⋅ (ن-2) ⋅ ... ⋅ (ن-م + 1) = ن! : (ن - م)!

اهو اظهار صرف عنصر جي جاء تي نه، پر ان جي مجموعي طور تي ترتيب ڏيڻ تي لاڳو ناهي.

combinatorics جي ٽيون مساوات، ۽ ان کي بعد ۾، مجموعن جي تعداد لاء فارمولا سڏيو ويندو آهي:

C_n ^ م = ن! : ((ن - م))! : ميم!

ھڪڙو ٺهيل ھڪڙو نمونو آھي جيڪو حڪم، ترتيب سان نھ آھي، ۽ ھي اصول ان تي لاڳو ٿيندي آھي.

مجموعي طور تي فارمولين فارمولن سان اهو ممڪن آهي ته هو بغير ڪنهن قسم جي مسئلي کي حل ڪرڻ لاء، ممڪن آهي ته اسان تڪليف جي ڪلچرل نموني تي اڳتي وڌون ٿا. هي اظهار هن طرح ڏسڻ جهڙو آهي:

P (الف) = م: ن.

هن فارمولا ۾، اهڙين حالتن جو تعداد آهي جنهن ۾ اي A ۽ اي ن آهي بلڪل سڀني جي برابر ممڪن آهي ۽ ابتدائي نتيجو.

اهڙا ڪيترائي اشارا آهن، مضمون هر شيء کي ڍڪ نه ڏيندو، پر سڀ کان اهم اثر متاثر ٿي ويندا، جهڙوڪ واقعن جي رقم جي امڪان:

P (A + B) = P (A) + P (B) صرف ناممڪن واقعن کي شامل ڪرڻ لاء نظريات آھي.

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ھي ھڪڙو اضافي لاء صرف مناسب آھي.

واقعي جي تڪليف:

P (الف ⋅ ب) = P (A) ⋅ پي (B) آزادين واقعن لاء نظريات آهي.

(P (الف ⋅ ب) = P (A) ⋅ پي (B | A)؛ پي (A ⋅ B) = P (A) ⋅ پي (A) بي)، ۽ انحصار ڪندڙ ماڻهن لاء.

واقعي جي صورتن جي لسٽ کي ختم ڪريو. امڪان جي نظريو اسان کي نظري بابت بابت ٻڌائي ٿو بيز، جيڪي هن طرح نظر اچن ٿا:

P (H_m | A) = (P (H_m) پي (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ن اين پي (H_k) پي (ھH_k))، م = 1، ن

هن فارمولا ۾، ايڇ ₁ ، ايڇ ₂ ، ...، ايڇ _{ن حسيف} جو هڪ مڪمل سيٽ آهي.

اسان هن تي رهنداسين، اسين عملي طور تي خاص مشڪلاتن کي حل ڪرڻ لاء لاڳو ڪندڙ فارمول جي مثالن تي غور ڪنداسين.

مثالون

جيڪڏهن توهان احتياط سان رياضي جي ڪنهن به حصي کي پڙهائي، انهي کان سواء بغير حل ۽ نموني حل نه ڪندو آهي. تنهن ڪري امڪان جو نظريو: واقعن، هتي مثالن جو هڪ لازمي جز آهي، سائنسي حساب ڪتاب جي تصديق ڪن ٿا.

اجازت نامن جي تعداد لاء فارمولا

اچو ته اهو چون ٿا ته ڪارڊ ڊيڪ ۾ ٽي ٽي ڪارڊ آهن، هڪ هڪ منهن جي منهن سان شروع ٿيندڙ. اڳيون سوال. ڊيڪ کي گڏ ڪرڻ جا طريقا ڪيترا طريقا آهن انهي ڪري ته منهن چٽا جي ڪارڊ هڪڙي ۽ ٻه طرف طرف نه آهن.

ڪم کي مقرر ڪيو ويو آهي، هاڻي اچو ته ان جي حل تي هلون. پهريون، اسان کي ٽيٽي عناصر جي اجازت جو اندازو لڳائڻ جي ضرورت آهي، ان ڪري اسان هن مٿئين فارمولا وٺي رهيا آهيون، اسين P_30 = 30 حاصل ڪريو.

هن حڪمراني جي بنياد تي، اسان سکڻ وارا ڪيترا ئي طريقا مختلف طريقن سان ڊيڪ کي ڳائڻ لاء آهن، پر اسان کي انهن کان ذليل ڪرڻو پوندو، جن ۾ پهرين ۽ سيڪنڊ ڪارڊ اڳيان هوندي. هي ڪرڻ لاء، اسان اختياريء سان شروع ڪريون، جڏهن پهريون ڀيرو مٿان سيڪنڊ آهي. اهو ظاهر ٿيو ته پهرين ڪارڊ ويهن نو هنڌن تان ڪري سگهن ٿيون - پهرين کان پهرين ويهنهنهن ۽ ٻيو نمبر 30 کان توهان کي، ڪارڊ واري ڪارڊ لاء صرف ويهن هنڌن مان. موڙ ۾، باقي اٺن هنڌن تي، ۽ هڪ منفي حڪم سان ڪري سگهن ٿا. اهو آهي، جيڪو ويهن اٺ ڪارڊ جي مٽاسٽا لاء ويهن اٺ ويريٽس P_28 = 28 آهي!

آخر ۾، اهو ظاهر ٿيو ته جيڪڏهن اسان حل ڪيو آهي، جڏهن پهريون ڪارڊ سيڪنڊ کان ختم ٿئي ٿي، اضافي امڪان ختم ٿي وينديون 28 28 ⋅ 28 تائين! = 29!

ساڳي طريقي سان استعمال ڪرڻ جي ضرورت آهي، توهان کي وڌيڪ ڪيسن جي حساب جي حساب جي حساب ڪرڻ جي ضرورت هوندي جتي پهرين ڪارڊ سيڪنڊ کان هيٺ آهي. اهو به ڦٽو ٿيو 29 ⋅ 28! = 29!

ان کان سواء ان کي اختيار اختيار ڪيو وڃي ٿو 2 اضافي 2 ⋅ 29، جڏهن ته 30 مان ٺٽو گڏ ڪرڻ لاء ضروري طريقا! 2 ⋅ 29! ان کي صرف ڳڻڻ رهي ٿو.

30! = 29! ⋅ 30؛ 30! - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

هاڻي اسان سڀني نمبرن کي هڪ کان ڏهن تائين وڌڻ جي ضرورت آهي، پوء 28 کان هر شي کي وڌائي. آخرڪار، اسان 2،4757335 ⋅ 〖10〗 32

مثال جو حل. هدايتون جو تعداد لاء فارمول

هن ڪم ۾ اهو ضروري آهي ته هڪ پناهه تي پندرهن ڪلاون ڪئين طريقي سان گڏ ٿين، پر اهو شرط آهي ته سڄي ٽي ويون پوريون آهن.

هن مسئلي ۾، اڳئين هڪ کان وڌيڪ حل صحيح آهي. اڳ ۾ ئي ڄاڻايل فارمولا استعمال ڪندي، اهو ضروري آهي ته تقريبن ٽي ويهه کان وٺي انتظامات جو مجموعي نمبر حساب ڪرڻ.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

جواب، ترتيب، 202 843 204 931 727 360 000 ٿيندو.

هاڻي اچو ته ڪم کي ٿورو وڌيڪ پيچيدگي وٺون. اهو ضروري آهي ته اهو معلوم ٿئي ٿو ته ٻه ڪتابن تي ٻڌل ڪيتريون ئي ڪتابون موجود آهن، جيڪي فقط پندرهن جلد هڪ پناهه تي هجن.

حل جي شروعات کان اڳ، آئون واضح ڪرڻ چاهيان ٿو ته ڪجهه مسئلا ڪيترن ئي طريقن سان حل ڪيا ويا آهن، تنهنڪري هن ۾ ٻه طريقا آهن، پر ٻنهي ساڳيا فارمولا استعمال ڪن ٿا.

انهي ڪم ۾، اسان اڳئين کان جواب وٺي سگهون ٿا، ڇو جو اسان حساب ڪيو ويو ته ڪيترا ڀيرا ممڪن آهي ته مختلف طريقن ۾ پندرهن ڪتابن لاء پناهه ڀرڻ لاء ممڪن آهي. ان مان ظاهر ٿيو ته A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

ٻٻر شيلف کي جائزگي فارمولا مطابق مطابق حساب ڪيو ويندو، ڇاڪاڻ ته پندرهن ڪتاب ان ۾ رکيل آهن، جڏهن ته فقط پندرهن ڪتابن جا رهجي ويا آهن. اسان P_15 = 15 فارمولا استعمال ڪندا آهيون.

اهو ظاهر ٿيو ته رقم A_30 ^ 15 ⋅ P_15 طريقن سان ٿيندو، پر ان کان سواء، سڀني نمبرن جي پيداوار لاء ٽيهه کان وٺي ٻار جي تعداد کي هڪ کان وٺي پندرهن تائين ٿيندو، آخرڪار اسان سڄي هڪ ٽيٽي کان هر نمبر جي پيداوار حاصل ڪنداسين. 30 سان برابر آهي!

پر اهو ڪم مختلف طريقي سان حل ٿي سگهي ٿو - اهو آسان آهي. هن ڪرڻ لاء، توهان تصور ڪري سگھو ٿا ته اهي ٽي وي ڪتابن لاء هڪ پناهه آهي. اهي سڀئي جهاز هن جهاز تي رکيا ويا آهن، پر اها حالت اچڻ جي ضرورت آهي ته اتي ٻه پناهه آهن، پوء اسان هڪ ڊگهي اڌ ۾ کٽايو، اسان کي ٻه طرف پندرهن ملن ٿا. هن مان اهو ڦٽو ڪيو ويو آهي ته انتظام جي مختلف قسمن جي P_30 = 30!

مثال جو حل. ميلاپ نمبر لاء فارمولا

هاڻي اسان ٽئين مسئلي جي هڪ قسم جي سنگتين واري سوچ تي غور ڪنداسين. اهو ضروري آهي ته اهو معلوم ٿئي ته پندرهن ڪتابن کي بندوبست ڪرڻ لاء اهي ڪيترا طريقا آهن، جيڪي توهان جي ٽيٽيٽ ۾ هڪ جيتري چونڊڻ جي ضرورت آهي.

حل لاء، يقينا، مجموعن جي تعداد لاء فارمول لاڳو ٿيندي. اها حالت صاف ٿئي ٿي ته هڪ جيتري ڪتابن جو حڪم ضروري آهي ته پندرهن ڪتابن جي اهميت ضروري نه آهي. تنهن ڪري، شروعاتي طور تي ضروري آهي ته 15 ورهين جي گڏجاڻيء جو مجموعي نمبر معلوم ڪيو وڃي.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155 117 520

اهو سڀ ڪجهه آهي. انهي فارمولا استعمال ڪندي، ننڍو وقت ۾ اهو ممڪن آهي ته اهڙي مسئلي کي حل ڪرڻ لاء، جواب، ترتيب وار، 155 117 520 آهي.

مثال جو حل. امکانات جي ڪولياليائي نموني

مٿي فارمولا استعمال ڪندي، توهان جواب ڳولي هڪ سادي ڪم ۾ ڳولي سگهو ٿا. پر اهو ڏسڻ ۾ نظر انداز ڪرڻ ۽ عمل جي عمل جي تعقيب جي مدد ڪندي.

مسئلو ۾ اهو ڏنو ويو آهي ته آرن ۾ ڏهن بلڪل هڪ جيترا بالا آهن. انهن مان، چار پيلا ۽ ڇهه نيري آهن. هڪڙي بال مان urn تان ورتو وڃي ٿو. توهان کي نيري وڃائڻ جي امڪاني ڄاڻڻ جي ضرورت آهي.

مسئلو حل ڪرڻ لاء، ضروري آهي ته اي ميل سان نيري بال کي حاصل ڪرڻ لاء لازمي آهي. اهو تجربو ڏهن نتيجن وارا هوندا، جيڪو، موڙ ۾، ابتدائي ۽ برابر ممڪن آهي. ساڳي ئي وقت ۾، ڏهن ڏهه ڇهه کان واقعو اي لاء لاء مددگار آهن. اسان فارمولا مطابق فيصلو ڪيو ٿا:

P (A) = 6: 10 = 0.6

هن فارمول کي لاڳو ڪرڻ، اسان اهو معلوم ڪيو ته نيري بال جي صلاحيت 0.6 آهي.

مثال جو حل. واقعن جا واقعا شامل آهن

هاڻي هڪ قسم پيش ڪيو ويندو، جيڪو واقعن جي رقم جي احتساب فارمولا استعمال ڪيو وڃي ٿو. تنهن ڪري، حالت ۾ اهو ڄاڻايل آهي ته ٻه بڪ آهن، پهرين ۾ هڪ گرين ۽ پنج اڇو بال، ۽ ٻيو 8 گريو ۽ چار اڇو بالن ۾. نتيجي طور، انهن مان هڪ پهرين ۽ ٻيو باڪس مان ورتو ويو هو. اهو ضروري آهي ته حاصل ڪيو وڃي ته حاصل ڪيل بالون سرمائي ۽ سفيد ٿي ويندا آهن.

هن مسئلي کي حل ڪرڻ لاء، اهو واقعات نامزد ڪرڻ ضروري آهي.

• سو، اي - پهرين دراج کان سرمائي بال ورتو: P (A) = 1/6.
• هڪ '- پهرين دراج کان پڻ هڪ چمڪندڙ بال ڪيو: P (A') = 5/6.
• ب - ٻئين خاني مان سرمائي بال ڪڍيا: P (B) = 2/3.
• ب '- سيڪنڊ خاني مان هڪ سرمائي بال ورتو: P (B') = 1/3.

مسئلو جي حالتن مطابق، اهو ضروري آهي ته واقعن مان هڪڙي ٿئي ٿي: AB 'يا A'B. فارمولا استعمال ڪندي، اسان حاصل ڪريون: P (AB ') = 1/18، P (A'B) = 10/18.

هاڻي تڪليف وڌائڻ لاء فارمولا استعمال ڪيو ويو. اڳيون، جواب ڳولڻ لاء، توهان انهن جي اضافي جي مساوات کي لاڳو ڪرڻ جي ضرورت آهي:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

تنهن ڪري، فارمولا استعمال ڪندي، توهان ساڳيون مسئلا حل ڪري سگهو ٿا.

نتيجو

مضمون مضمون تي پيش ڪيل معلومات "احتساب واريون"، هڪ واقعي جو امڪان آهي جنهن ۾ هڪ اهم ڪردار ادا ڪري ٿو. يقينا، هر شيء ۾ نه پئي ورتو ويو، پر پيش ڪيل متن تي، توهان نظرياتي طور تي رياضي جي هن حصي سان واقف ٿي سگهن ٿا. اهو سائنس صرف نه رڳو پیشہ ور عملي ۾ مفيد ٿي سگهي ٿو، پر روزمره جي زندگيء ۾ پڻ. ان جي مدد سان، توهان ڪنهن واقعي جي امڪاني جو حساب ڪري سگهو ٿا.

لکت جي لحاظ کان امڪاني نظريي جي اوچتي تاريخ ۾ اهم تاريخن تي پڻ هڪ سائنس، ۽ ماڻهن جا نالا جن جي ڪارڪن ان ۾ پئجي ويندي هئي. اهو ڪيئن آهي ته انساني غفلت حقيقت اها آهي ته ماڻهن ڪڏهن به بي ترتيب واري واقعن کي ڳڻڻ سکيو آهي. هڪ دفعو انهن کي صرف ان ۾ دلچسپي رکي ٿي، پر اڄ هرڪو ان جي باري ۾ ڄاڻي ٿو. ۽ ڪوبه به نه چوندا ته مستقبل ۾ اسان کي انتظار ڪري، نظريي سان لاڳاپيل ٻيون به ڪيتريون ئي دريافتن تي غور ڪيو ويندو. پر هڪ شيء يقين لاء آهي - جڳهه تي تحقيق ان جي قابل نه آهي!